正しいのは、「やまのてせん」です。
「やまのて」とは、、赤坂や四谷、麻布あたりの一帯を指す言葉です。
この地域は、江戸城を西方向に出たところで、武士が住む地域でした。
この地域で使われる言葉が、いわゆる「山の手言葉」です。
電車の山手線は、この地域をぐるりと囲むように線路が走っている環状線です。
「やまのて」という地名から名付けられた路線名なので、戦前は「やまのてせん」と呼ばれていました。
しかし戦後、GHQの命令によってアルファベット表記が進められたのですが、
当時の国鉄職員が「YAMATE＝Loop=Line」と記載してしまいました。
そのため、「やまてせん」という読み方が定着してしまったのです。
どうして、このようになったのかと言うと、
当時、国鉄内では、山手線（やまのてせん）を「ヤマテ」と通称で呼んでいました。
仲間内で使っていた言葉をそのまま記載してしまったのです。
しかし、1970年代以降、本来の名前である「やまのてせん」という読み方を復活させました。
その結果、再び「やまのてせん」が正式な名称として扱われるようになったのです。